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<!DOCTYPE html>

<title>Hamiltonsches Prinzip</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Hamiltonsches Prinzip</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Nach dem Hamiltonschen Prinzip der <a href="Theoretische_Mechanik" title="Theoretische Mechanik">Theoretischen Mechanik</a> wird die Dynamik eines physikalischen Systems dadurch beschrieben, dass die „<a href="Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a>“ einen <a href="Extremwert" title="Extremwert">extremalen Wert</a> annimmt. Mathematisch betrachtet ist die Wirkung ein <a href="Funktional" title="Funktional">Funktional</a>, daher auch die Bezeichnung Wirkungsfunktional. Einige Autoren nennen das Hamiltonsche Prinzip auch Prinzip der kleinsten Wirkung, was jedoch nicht präzise ist, weil die Wirkung in vielen Fällen nicht minimal, sondern nur „<a href="Variationsrechnung#Stationäre_Funktion" title="Variationsrechnung">stationär</a>“ (d. h. extremal) ist. Deshalb wird das Prinzip von manchen Lehrbuchautoren auch das Prinzip der stationären Wirkung genannt.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Ein Beispiel ist das <a href="Fermatsches_Prinzip" title="Fermatsches Prinzip">Fermatsche Prinzip</a>, nach dem ein Lichtstrahl in einem Medium von allen denkbaren Wegen vom Anfangspunkt zum Endpunkt den Weg mit der geringsten Laufzeit durchläuft.

Die <a href="Newtonsche_Axiome" class="mw-redirect" title="Newtonsche Axiome">Newtonschen Bewegungsgleichungen</a> folgen bei geeignet gewählter Wirkung dem Hamiltonschen Prinzip. Auch das <a href="Brechungsgesetz" class="mw-redirect" title="Brechungsgesetz">Brechungsgesetz</a> der Optik, die <a href="Maxwellgleichungen" class="mw-redirect" title="Maxwellgleichungen">Maxwellgleichungen</a> der <a href="Elektrodynamik" title="Elektrodynamik">Elektrodynamik</a> und die <a href="Einsteinsche_Feldgleichungen" title="Einsteinsche Feldgleichungen">Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie</a> lassen sich auf ein Prinzip der stationären Wirkung zurückführen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<a href="Pierre_Louis_Maupertuis" class="mw-redirect" title="Pierre Louis Maupertuis">Pierre Maupertuis</a> sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen (vgl. auch <a href="Ockhams_Rasiermesser" title="Ockhams Rasiermesser">Ockhams Rasiermesser</a>): Dem Prinzip der kleinsten Aktion bzw. Prinzip der kleinsten Wirkung.<a href="#cite_note-2">[2]</a> <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> und <a href="Joseph_Louis_Lagrange" class="mw-redirect" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Lagrange</a> klärten in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts, dass aus solch einem Prinzip die Gültigkeit von <a href="Euler-Lagrange-Gleichungen" class="mw-redirect" title="Euler-Lagrange-Gleichungen">Euler-Lagrange-Gleichungen</a> folgte. Die lagrangesche Formulierung der Mechanik stammt von 1788. 1834 formulierte <a href="William_Rowan_Hamilton" title="William Rowan Hamilton">William Hamilton</a> das nach ihm benannte Prinzip.

<a href="Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> deutete es als Hinweis darauf, dass sämtliche Naturprozesse zielgerichtet ablaufen. Es sei Zeichen einer <a href="Teleologie" title="Teleologie">Zweckbestimmung</a> der Welt jenseits des menschlichen Sinnes- und Erkenntnisapparats.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> zeigte in den 1940ern, dass sich das Hamiltonsche Prinzip in der Quantenfeldtheorie dadurch ergibt, dass alle möglichen Pfade (auch die nicht zielgerichteten) zulässig sind und zum <a href="Pfadintegral" title="Pfadintegral">Pfadintegral</a> aufintegriert werden. Dabei überlagern sich Pfade mit extremaler Wirkung konstruktiv und davon abweichende destruktiv, so dass die Natur schließlich zielgerichtet erscheint.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</h2></div>

In der Mechanik ist die Wirkung das zeitliche Integral über die sogenannte <a href="Lagrangefunktion" class="mw-redirect" title="Lagrangefunktion">Lagrangefunktion</a>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/204a2e297d5cf692884a23964a90cf75c903efac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.768ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ).}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Lagrangefunktion ist eine Funktion der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">, des Ortes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32adf004df5eb0a8c7fd8c0b6b7405183c5a5ef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} }" loading="lazy"> und der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c1866e359fbfd2e0f606c725ba5cc37a5195d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} }" loading="lazy">.

Beispielsweise ist in Newtonscher Mechanik die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">, das sich im <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(t,\mathbf {x} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(t,\mathbf {x} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51c632606b03b86ac14efaed660b1f49cf45225.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.881ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(t,\mathbf {x} )}" loading="lazy"> bewegt, die Differenz von <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischer</a> und <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentieller Energie</a>:

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}-V(t,\mathbf {x} ),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e08ed43b6b233dc26177af87b1f9ebf87d0e859a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.093ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}-V(t,\mathbf {x} ),}" loading="lazy"></dd></dl>

In der relativistischen Mechanik ist die Lagrangefunktion eines freien Teilchens

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=-mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c9be62d60e3e59cd7028054f82b130010584090.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:30.792ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=-mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}.}" loading="lazy"><a href="#cite_note-4">[4]</a></dd></dl>

Die Wirkung ordnet jeder Bahn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma :t\mapsto \mathbf {x} (t)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma :t\mapsto \mathbf {x} (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcd72f46d071deb1ee03f160d58474b23e57d8c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.904ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma :t\mapsto \mathbf {x} (t)}" loading="lazy">, die im Laufe der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> von einem Anfangspunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{1})}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e66a00fc32cb949ae14e5acd0307ba2a7ac9adc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.583ex; margin-bottom: -0.755ex; width:9.626ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{1})}" loading="lazy"> zu einem Endpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{2})}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fe75f222f8da07a2ff607eb74d07280ee97541e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.739ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} (t_{2})}" loading="lazy"> durchlaufen wird, folgenden Wert zu:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S[\Gamma ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L{\bigl (}t,\mathbf {x} (t),\mathbf {v} (t){\bigr )}\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/912e1421ad001cb5b44a7c8085fd9738a0d5f3e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.372ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle S[\Gamma ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L{\bigl (}t,\mathbf {x} (t),\mathbf {v} (t){\bigr )}\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Wirkung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> hat also die Dimension Energie mal Zeit.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt nun, dass von allen denkbaren Bahnen, die anfänglich durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/952e4a9374c1992f6e00c4532787e4ff5258499b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.511ex; margin-bottom: -0.827ex; width:1.413ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\underline {\mathbf {x} }}}" loading="lazy"> und schließlich durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70488c2676d937484ba86d6c828b68c0b2c4a32d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.526ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}" loading="lazy"> laufen, diejenigen Bahnen in der Natur durchlaufen werden, die eine stationäre Wirkung haben. Für die physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet die <a href="Erste_Variation" title="Erste Variation">erste Variation</a> der Wirkung:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta S=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be02bab96c7b908ef7d379d67f1d3aca2fdfde29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.456ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta S=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Sie genügen daher der <a href="Euler-Lagrange-Gleichung" class="mw-redirect" title="Euler-Lagrange-Gleichung">Euler-Lagrange-Gleichung</a>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial v}}=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84bc257a046501f17ee5184c2bee0cb5f31c3fdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.191ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial v}}=0.}" loading="lazy"><a href="#cite_note-5">[5]</a></dd></dl>

Beispielsweise ergeben sich für die nichtrelativistische Bewegung eines Teilchens im Potential die Newtonschen Bewegungsgleichungen

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\operatorname {grad} V-m{\ddot {x}}=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e138aab2724d186f792c2e513dff279221dbade.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.017ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -\operatorname {grad} V-m{\ddot {x}}=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei einem freien relativistischen Teilchen ist der Impuls dagegen zeitunabhängig:

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65a3d2bc3b49ca0e3c68fa8d2282157588370a57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.728ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Hamiltonsche_Prinzip_für_Felder">Das Hamiltonsche Prinzip für Felder</h2></div>

In der <a href="Feldtheorie_(Physik)" title="Feldtheorie (Physik)">Feldtheorie</a> wird hingegen das Verhalten von <a href="Feld_(Physik)" title="Feld (Physik)">Feldern</a> untersucht, d. h. auf welche Weise sie sich verändern und mit ihrer Umgebung wechselwirken.

Setzt man in das Hamiltonsche Prinzip

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,L=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6bebc706155b408386974e55906a3a0196eb27b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.308ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,L=0}" loading="lazy"></dd></dl>

die <a href="Lagrange-Dichte" title="Lagrange-Dichte">Lagrange-Dichte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.604ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}}" loading="lazy"> ein,

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6b6ad01c194249c42e5e3f01e8ab749924de48e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.623ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}" loading="lazy">  mit einem Feld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\phi =\phi (x,y,z,t),}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\phi =\phi (x,y,z,t),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d20c835ee5e4bf60a979ccca01d07aa2f3189859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,\phi =\phi (x,y,z,t),}" loading="lazy"></dd></dl>

erhält man das Hamiltonsche Prinzip für Felder, mit

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,\,{\mathcal {L}}=0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c463ba3af765fe7c72b87c94c9a6a694cf864657.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.113ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,\,{\mathcal {L}}=0\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus folgt

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,{\mathcal {L}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\delta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x_{i})}}\delta {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e1badd96ae02b766886a4b710bd7aaa7d9ad160.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:82.175ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,{\mathcal {L}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\delta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x_{i})}}\delta {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}\right]}" loading="lazy"></dd></dl>

und durch <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partielle Integration</a>, da die Randterme verschwinden,

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,{\mathcal {L}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}-\sum {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x_{i})}}\right]\delta \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/544250e18ee4588e087fac9e9a4d2d6b8939210a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:80.306ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,{\mathcal {L}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\int \mathrm {d} ^{3}r\,\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}-\sum {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x_{i})}}\right]\delta \phi }" loading="lazy">.</dd></dl>

Dieser Integrand kann mithilfe des <a href="Raumzeit" title="Raumzeit">Raumzeit</a>-<a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektors</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\mu }}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/684350815d8cc05d6862ce3edf1fb819c1774b46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.553ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{\mu }}" loading="lazy"> kompakt als

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{\mu })}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36c63d4f2af82fe982caa36493daf1af9567e961.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.006ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{\mu })}}}" loading="lazy"></dd></dl>

geschrieben werden. Man erkennt, dass diese Formulierung insbesondere für die <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> interessant ist, da hier über den Ort und die Zeit integriert wird. Analog zum gewöhnlichen Hamiltonschen Prinzip lassen sich aus dieser abgewandelten Version die Lagrangegleichungen für Felder bestimmen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_der_Quantenmechanik">Zusammenhang mit der Quantenmechanik</h2></div>

Entwickelt man die Quantenmechanik beginnend vom <a href="Pfadintegral" title="Pfadintegral">Pfadintegralformalismus</a>, so wird sehr schnell klar, weshalb Wirkungsminimierung zur Beschreibung von klassischen Teilchenbahnen derart effizient ist. Hierbei gilt nämlich, dass die Wirkung für Bahnen, die einem meist im täglichen Leben begegnen, sehr groß gemessen an der <a href="Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planck-Konstante</a> ist, was häufig schon aufgrund der großen Masse makroskopischer Objekte der Fall ist. Somit ist die <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> im Pfadintegral, die die Wirkung enthält, eine sehr schnell oszillierende Funktion. Den Hauptbeitrag zum Pfadintegral liefern nun Terme, für die die Wirkung stationär ist. Hierbei ist sehr wichtig zu beachten, dass nur die Forderung nach Stationarität folgt und nicht eine Forderung nach einem Minimalwert. Dies bietet auch die passende Rechtfertigung dafür, dass üblicherweise nicht überprüft wird, ob die Extremwerte, die man durch das Minimieren der Wirkung erhält, tatsächlich Minimalwerte sind, denn man benötigt tatsächlich nur Extremwerte, um eine klassische Beschreibung zu erhalten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Da das Wirkungsprinzip unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem ist, kann man die Euler-Lagrange-Gleichungen in solchen Koordinaten untersuchen, die dem jeweiligen Problem angemessen sind und beispielsweise Kugelkoordinaten verwenden, wenn es um die Bewegung im drehinvarianten Gravitationsfeld der Sonne geht. Dies vereinfacht die Lösung der Gleichung.

Zudem lassen sich bequem Zwangsbedingungen berücksichtigen, wenn mechanische Vorrichtungen die freie Bewegung der Massepunkte einschränken wie beispielsweise die Aufhängung bei einem Kugelpendel.

Vor allem aber lässt sich in dieser Formulierung der Bewegungsgleichungen das <a href="Noether-Theorem" title="Noether-Theorem">Noether-Theorem</a> beweisen, das besagt, dass zu jeder <a href="Symmetrie_(Physik)" title="Symmetrie (Physik)">Symmetrie</a> der Wirkung eine Erhaltungsgröße gehört und dass umgekehrt zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie der Wirkung gehört.

Die Erhaltungsgrößen wiederum sind ausschlaggebend dafür, ob sich die Bewegungsgleichungen durch Integrale über gegebene Funktionen lösen lassen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>de Maupertuis: Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles. In: Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, 15. April 1744, S. 417–426; <a href="https://de.wikisource.org/wiki/fr:Accord_de_diff%C3%A9rentes_loix_de_la_nature_qui_avoient_jusqu%E2%80%99ici_paru_incompatibles" class="extiw external" title="s:fr:Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles">Volltext</a> (<a href="Wikisource" title="Wikisource">Wikisource</a>)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Fußnoten">Einzelnachweise und Fußnoten</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Kai Willner: Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer-Verlag, 2003, S. 288; <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=R8HXIEjRHHUC&pg=PA288&dq=%22Prinzip+der+station%C3%A4ren+Wirkung%22&hl=en&sa=X&ei=FKHwUP7VK8jHswaU3oHQAw&redir_esc=y#v=onepage&q=%22Prinzip%20der%20station%C3%A4ren%20Wirkung%22&f=false">books.google.de</a>

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a href="Karl-Eugen_Kurrer" title="Karl-Eugen Kurrer">Karl-Eugen Kurrer</a>: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 920.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Carsten_K%C3%B6nneker" title="Carsten Könneker">Carsten Könneker</a>: Grenzen ziehen – oder überschreiten? Vorwort zum Themenbereich „Vernunft und Glaube“. In: <a href="Spektrum_der_Wissenschaft" title="Spektrum der Wissenschaft">Spektrum der Wissenschaft</a>, Januar 2012.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Für ein Teilchen der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> im Schwerefeld mit der potentiellen Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}" loading="lazy"> ergibt sich nach der Einstein’schen Allgemeinen Relativitätstheorie in niedrigster Ordnung bezüglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )\cong -mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}+{\frac {2\phi }{mc^{2}}}}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )\cong -mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}+{\frac {2\phi }{mc^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1fa0bae21d322379ff051be601202ec85cf1814.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:36.808ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )\cong -mc^{2}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}+{\frac {2\phi }{mc^{2}}}}}}" loading="lazy">, was bei Taylorentwicklung bzgl. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}}">

<msup>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4faa98a21ac8133ab466999288849492be28b3d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle v^{2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c69f1c4a95b2d750b30fa4cf5d5d068a573ac0d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.773ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \,}" loading="lazy"> genau zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=T-V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=T-V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00644a2f8d4ddaa3b1ae36d472aabaeb63e4d9dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.945ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L=T-V}" loading="lazy"> passt.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> zur Herleitung siehe <a href="Lew_Dawidowitsch_Landau" title="Lew Dawidowitsch Landau">L. Landau</a>, <a href="Jewgeni_Michailowitsch_Lifschitz" class="mw-redirect" title="Jewgeni Michailowitsch Lifschitz">J. M. Lifschitz</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Theoretischen Physik</cite>. 14. Auflage. Band 1: Mechanik. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1326-2, S. 3 f.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hamiltonsches+Prinzip&rft.au=L.+Landau%2C+J.+M.+Lifschitz&rft.btitle=Lehrbuch+der+Theoretischen+Physik&rft.date=2007&rft.edition=14.&rft.genre=book&rft.isbn=9783817113262&rft.pages=3+f.&rft.place=Frankfurt+am+Main&rft.pub=Harri+Deutsch&rft.volume=Band+1%3A+Mechanik" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div></div>

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</main>

</div>

</body></html>